Programma e contenuti
Fondamenti geometrici della meccanica lagrangiana e hamiltoniana. Flusso hamiltoniano, teorema di Liouville, teorema di Poincaré. Struttura simplettica dello spazio delle fasi hamiltoniano; 1-forma di Poincaré-Cartan e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e loro caratterizzazione. Struttura algebrica delle variabili dinamiche: parentesi di Poisson e legame con la derivata di Lie. Costanti del moto e proprietà di simmetria (teorema di Noether hamiltoniano). Equazioni di Hamilton-Jacobi; variabili azione-angolo nel caso unidimensionale e nel caso n-dimensionale separabile. Sistemi hamiltoniani completamente integrabili: teoremi di Liouville e di Arnol'd. Argomenti avanzati per l' ultima parte del corso (in alternativa):
i) Teoria canonica delle perturbazioni e cenni al teorema KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser); ii) Varietà di Poisson, metodo delle orbite coaggiunte e introduzione alla quantizzazione geometrica; iii) Metodi di topologia algebrica nello studio di sistemi dinamici discreti.
Programma esteso (dal Libro di testo)
Prerequisiti di geometria differenziale
(Cap. 1, § 1,2,3,4,5,7,8; solo definizioni in appendici A.1 e A.4)
Fondamenti geometrici della meccanica lagrangiana e hamiltoniana.
Flusso hamiltoniano, (teorema di Liouville ), teorema di Poincaré.
(Cap. 8, § 3,5)
Struttura simplettica dello spazio delle fasi hamiltoniano; algebra di Lie delle matrici hamiltoniane, gruppo simplettico e relazioni; caratterizzazione campi vettoriali hamiltoniani.
(Cap. 10, § 1)
Trasformazioni canoniche e loro caratterizzazione; trasformazioni dipendenti dal tempo e flussi hamiltoniani; 1-forma di Poincaré-Cartan e richiamo su condizioni di Lie; funzioni generatrici, in particolare F2 (richiami)
(Cap. 10, § 2; 3 in parte; 4 richiami)
Struttura algebrica delle variabili dinamiche: parentesi di Poisson, legame con la derivata di Lie, flussi communtanti; teorema di Noether hamiltoniano
(Cap. 10, § 5; 6; 9; 10 cenni)
Equazioni di Hamilton-Jacobi (funzione principale e funzione caratteristica); esempio su spazio fasi topologicamente non banale; variabili azione-angolo nel caso unidimensionale; Hamilton-Jacobi n-dimensionale completamente separabile; costruzione variabili azione-angolo in quest’ ultimo caso; sistemi hamiltoniani completamente integrabili: teorema di Liouville e (cenno al) teorema di Arnol'd.
(Questo è l’ ordine degli argomenti come trattato a lezione; sul testo i contenuti si trovano nel Cap. 11, § 1; 2; 3; 4; 5; 6, anche se alcune dimostrazioni sono diverse)
(*) Introduzione alle varietà di Poisson e Metodo delle Orbite: lezioni basate sul libro di M. Audin “Spinning Tops” , Capitolo introduttivo (in parte) e Appendice 1
In alternativa a (*):
Introduzione alla teoria canonica delle perturbazioni dal libro di testo, indicativamente
Cap. 12, § 1, 4, 5, 6 (cenni)
Modalità verifica apprendimento
Prova orale mirata ad accertare l' assimilazione dei concetti di base e le loro interconnessioni
Università di Pavia - Offerta formativa