2018/2019

2019/2020

DM270

MAT/02 (ALGEBRA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

2°

Secondo Semestre (02/03/2020 - 09/06/2020)

6

56 ore di attività frontale

Italiano

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

CANONACO ALBERTO (titolare) - 6 CFU

I corsi di Algebra Lineare e Algebra 1.

Il corso è un'introduzione alla teoria di Galois, accompagnata da alcuni complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un anello.

Moduli su un anello; sottomoduli, omomorfismi di moduli e moduli quoziente. Prodotti e somme dirette di moduli; moduli liberi. Moduli noetheriani; decomponibilità di moduli; moduli semplici e moduli semisemplici. Teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali.
Gruppi abeliani finitamente generati. Azioni di gruppi su insiemi; rappresentazioni di gruppi. Equazione delle classi. Teorema di Cauchy e teorema di Sylow. Gruppi semplici e gruppi risolubili. Prodotti semidiretti di gruppi.
Estensioni di campi; elementi algebrici e trascendenti. Costruzioni con riga e compasso. Campi di spezzamento di polinomi. Chiusura algebrica di un campo. Estensioni normali, separabili e di Galois. Campi fissi e gruppi di Galois; il teorema fondamentale della teoria di Galois. Teoria di Galois per i campi finiti. Polinomi risolubili per radicali.

Lezioni ed esercitazioni

Dispense fornite dal docente.
I.N. Herstein, "Algebra", Editori Riuniti.
M. Artin, "Algebra", Bollati Boringhieri.
P. Aluffi, "Algebra: chapter 0", American Mathematical Society.
J.S. Milne, "Group Theory", http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html.
D.J.H. Garling, "A Course in Galois Theory", Cambridge University Press.
I.N. Stewart, "Galois Theory", CRC Press.
J.S. Milne, "Fields and Galois Theory", http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html.

L'esame è costituito da una prova scritta, durante la quale lo studente deve risolvere alcuni esercizi, e da una prova orale, durante la quale lo studente deve rispondere ad alcune domande di tipo soprattutto teorico.