2022/2023

2022/2023

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI FISICA "ALESSANDRO VOLTA"

FISICA

PERCORSO COMUNE

1°

Primo Semestre (26/09/2022 - 13/01/2023)

9

84 ore di attività frontale

Italiano

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

NEGRI MATTEO (titolare) - 9 CFU

Solida conoscenza della matematica fornita dalla scuola secondaria e in particolare: risoluzione di equazioni e disequazioni, funzioni logaritmiche, esponenziali e trigonometriche, calcolo di derivate e integrali elementari

Lo scopo principale del corso è di fornire una conoscenza rigorosa degli argomenti basilari dell'Analisi Matematica. I risultati di apprendimento previsti sono: concetti fondamentali, tecniche di dimostrazione e di calcolo per successioni e funzioni a valori reali. Il corso ha inoltre lo scopo di sviluppare le capacita' di ragionamento logico-deduttivo.

NUMERI REALI. Ordinamento e non-numerabilità. Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Completezza dei reali. Intervalli. Punti di accumulazione,

FUNZIONI. Iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità. Funzioni lipschitziane. Funzione inversa, composizione di funzioni. Simmetrie pari e dispari. Funzioni fondamentali.

SUCCESSIONI. Definizione di limite. Successioni di Cauchy. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema dei due Carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Relazione di asintototicità e simbolo di Landau o-piccolo. Limsup e liminf. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Wierstrass.

SERIE. Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie fondamentali: armonica generalizzata e geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di Leibniz. Convergenza semplice ad assoluta. Criterio di convergenza assoluta.

LIMITI E CONTINUITA'. Definizioni di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass (dei massimi e dei minimi). Teorema dei valori intermedi. Continuità uniforme.

DERIVATE. Definizione e notazioni. Derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Funzioni derivabili con derivata discontinua. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Massimi e minini assoluti e relativi. Punti critici. Caratterizzazione di monotonia e convessità con derivate prime e seconde. Punti di flesso. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano. Espansioni di Taylor per le funzioni fondamentali. Funzioni lipschitziane.

INTEGRALI. Definizione di integrale secondo Riemann e Cauchy. Proprietà fondamentali degli integrali. Funzione di Dirichlet. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale per la funzione integrale.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2015.

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1.

Note manoscritte del docente.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta è volta a verificare l'apprendimento delle tecniche di calcolo, la capacità di ragionamento nella risoluzione di problemi e domande teoriche e la conoscenza dei principali risultati. Non sono ammessi libri, appunti e calcolatrici. La prova orale, cui si accede a seconda del voto riportato nella prova scritta, approfondisce gli aspetti teorici presentati durante il corso.