2019/2020

2019/2020

DM270

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E ARCHITETTURA

INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE

PERCORSO COMUNE

1°

Annualità Singola (30/09/2019 - 12/06/2020)

12

Italiano

Matematica: quelli richiesti per l'immatricolazione alla Facolta'.

Il corso si propone di fornire agli Studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali o vettoriali di una o piu' variabili reali, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle piu' semplici equazioni differenziali ordinarie. Si insistera' sulla comprensione e sull'assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, piu’ che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verra' dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli Studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali (anche multipli, curvilinei e di superficie), serie, equazioni differenziali lineari, oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche.

1. Funzioni, limiti e continuita'.
Richiami e complementi sui numeri reali. I numeri complessi. Funzioni: definizioni;
grafici; funzioni invertibili; funzioni pari, dispari, periodiche; operazioni sulle funzioni;
funzioni composte. Funzioni elementari e loro grafici. Limiti di funzioni: definizioni;
operazioni sui limiti. Funzioni continue. Punti di discontinuita' e loro classificazione.
Proprieta' globali delle funzioni continue.

2. Calcolo differenziale in una variabile reale e applicazioni.
Derivata di una funzione: definizione e proprieta'; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Regole di derivazione e calcolo delle derivate. Alcuni teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Antiderivate e integrali indefiniti. Derivate successive. Studio di funzioni: massimi e minimi; monotonia; concavita', convessita' e flessi.
Forme indeterminate e regole di De l’Hopital.

3. Calcolo integrale in una variabile reale e applicazioni .
Integrali definiti: definizione e proprieta' principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Tecniche di integrazione e calcolo di integrali. Cenni sugli integrali impropri.

4. Serie.
Successioni numeriche; limiti di successioni. Serie numeriche: definizione; prime proprieta' ed esempi; serie a termini positivi (criteri di convergenza); convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie di potenze in campo reale. Polinomi di Taylor e formule di Taylor. Serie di Taylor; serie di Taylor di alcune funzioni
elementari.

5. Equazioni differenziali.
Breve introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; il problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni a variabili separabili ed
equazioni omogenee. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti
costanti: caso omogeneo e caso completo. Cenno al problema ai limiti per equazioni del secondo ordine.

6. Calcolo differenziale in piu' variabili reali.
Funzioni reali di piu' variabili reali: rappresentazione grafica; limiti e continuita'.
Derivate parziali, gradienti e derivate direzionali. Derivate di ordine superiore.
Differenziabilita'. Derivazione parziale di funzioni composte. Cenni di calcolo
differenziale per funzioni a valori vettoriali. Matrici jacobiane. Estremi relativi liberi di funzioni a valori reali: punti stazionari e loro classificazione.

7. Integrali multipli.
Integrali doppi: definizione e proprieta' principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Calcolo degli integrali doppi: formule di riduzione; cambiamento di variabili; integrali doppi in coordinate polari. Cenni sugli integrali tripli.

8. Integrali di linea e integrali di superficie. Curve in forma parametrica: definizione; retta tangente; curve rettificabili e
lunghezza d'arco. Superfici in forma parametrica: prodotto vettoriale fondamentale e
piano tangente; area di una superficie. Integrali di linea rispetto alla lunghezza d’
arco. Integrali di linea di campi vettoriali e applicazioni alla Fisica. Campi conservativi, potenziale e indipendenza dal percorso. Gli operatori rotore e
divergenza. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. I teoremi di Green e
della divergenza nel piano. I teoremi di Stokes e della divergenza nello spazio.

Lezioni (ore/anno in aula): 46
Esercitazioni (ore/anno in aula): 74
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). C.E. Zanichelli, Bologna, 2004. (Testo consigliato).

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Analisi matematica 1 (prima edizione) e Analisi Matematica 2 (prima edizione) . C.E. Zanichelli, Bologna, 2008-2009.

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale facoltativa e subordinata all'esito positivo della prova scritta. La prova scritta prevede: la risoluzione di esercizi (prima parte) e la risposta a domande teoriche (seconda parte). La prova orale deve essere sostenuta nel medesimo appello dello scritto e prevede: enunciati dei teoremi, definizioni, esempi e controesempi fondamentali, alcune dimostrazioni dei teoremi svolti nel programma del corso.

Per informazioni più dettagliate si veda:
http://matematica.unipv.it/rocca/