GEOMETRIA 2
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Anno immatricolazione
2018/2019
Anno offerta
2019/2020
Normativa
DM270
SSD
MAT/03 (GEOMETRIA)
Dipartimento
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'
Corso di studio
MATEMATICA
Curriculum
PERCORSO COMUNE
Anno di corso
Periodo didattico
Secondo Semestre (02/03/2020 - 09/06/2020)
Crediti
9
Ore
84 ore di attività frontale
Lingua insegnamento
Italiano
Tipo esame
SCRITTO E ORALE CONGIUNTI
Docente
GHIGI ALESSANDRO CALLISTO (titolare) - 6 CFU
SLAVICH LEONE - 3 CFU
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Algebra lineare, Geometria 1, Algebra 1, Analisi matematica 1 e 2.
Obiettivi formativi
Il corso intende fornire i concetti base della geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio tridimensionale. Si propone inoltre di dare un'introduzione al gruppo fondamentale.
Programma e contenuti
Geometria differenziale delle curve e delle superfici immerse. Il gruppo fondamentale.

Programma esteso

Curve



Geometria differenziale delle curve. Curve regolari in R^3. Ascissa curvilinea di una curva regolare, rappresentazione intrinseca. Il triedro fondamentale e formule di Frenet. Curvatura e torsione di una curva regolare e significato geometrico.



Superfici



Geometria differenziale delle superfici. Superficie regolare di classe in R^3. Diffeomorfismi tra superfici regolari. Il piano tangente ad una superficie regolare in un punto. La prima forma fondamentale di una superficie regolare in un punto. Superfici orientabili. La mappa di Gauss di una superficie regolare orientabile. La seconda forma fondamentale di una superficie regolare in un punto. Curvatura normale in un punto e teorema di Meusnier. Curvature principali e direzioni principali. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Curve asintotiche. Le superfici di rotazione e le superfici rigate. Isometrie tra superfici regolari. Il Teorema Egregium di Gauss. Curve geodetiche. Il Teorema di Gauss-Bonnet.






Il gruppo fondamentale



Omotopia di mappe. Omotopia di archi. Prodotto di archi. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico X. Proprieta' funtoriali del gruppo fondamentale. Invarianza del gruppo fondamentale per omeomorfismi. Gruppo fondamentale del prodotto di spazi topologici. Retratti di deformazione. Invarianza del gruppo fondamentale per omotopia. Spazi topologici contraibili. Esempi di calcolo del gruppo fondamentale.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni.
Testi di riferimento
M.P. Do Carmo: "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice-Hall.


E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri.


M. Manetti: "Topologia", Springer.
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto e orale.
Lo scritto consiste in esercizi su vari argomenti trattati nel corso. L'esame orale e' piu' teorico e verifica la conoscenza e la comprensione delle definizioni, degli enunciati e delle dimostrazioni dei teoremi trattati a lezione.
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