2015/2016

2016/2017

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

2°

Primo Semestre (03/10/2016 - 13/01/2017)

6

48 ore di attività frontale

Italiano

ORALE

MORA MARIA GIOVANNA (titolare) - 6 CFU

Conoscenze di base di analisi funzionale e di teoria della misura (le principali definizioni e i risultati utilizzati saranno comunque richiamati durante il corso).

Il corso intende fornire un'introduzione al Calcolo delle Variazioni.

Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzioni semicontinue inferiormente: definizione sequenziale e topologica, proprietà. Funzioni coercive e sequenzialmente coercive. Funzioni convesse: dominio, epigrafico, proprietà. Inviluppo semicontinuo inferiormente e inviluppo convesso. Funzionali integrali su spazi di Lebesgue: semicontinuità rispetto alle topologie forte e debole. Operatori di Nemytskii. Lemma di Riemann-Lebesgue. Convessità come condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità debole. Spazi di Sobolev. Funzionali integrali su spazi di Sobolev: semicontinuità rispetto a topologie forte e debole. Quasi-convessità, policonvessità e convessità di rango uno. Quasi-convessità come condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità debole. Rilassamento. Differenziabilità secondo Fréchet e secondo Gâteaux. Equazione di Eulero-Lagrange. Equazione di DuBois-Reymond. Risultati di regolarità per problemi uno-dimensionali. Gamma-convergenza: teorema fondamentale, stabilità rispetto a perturbazioni continue, relazioni con convergenza uniforme e puntuale, semicontinuità inferiore del Gamma-limite, rilassamento, esempi e applicazioni.

Lezioni frontali

G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. HIldebrandt
One-dimensional Variational Problems, An Introduction
Oxford University Press, 1998

B. Dacorogna
Direct Methods in the Calculus of Variations
Springer 2002, 2nd edition

A. Braides
Gamma-convergence for beginners
Oxford University Press, 2002

Esame orale.

Esame orale.