2014/2015

2015/2016

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI FISICA

SCIENZE FISICHE

FISICA TEORICA

2°

Primo Semestre (12/10/2015 - 22/01/2016)

9

78 ore di attività frontale

ITALIANO

ORALE

SCHIMPERNA GIULIO FERNANDO (titolare) - 9 CFU

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una e più variabili.
Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
Nozioni di base di algebra lineare.

a) fornire gli elementi piu' importanti della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riguardo agli spazi di Banach;
b) dare applicazioni significative dell'Analisi Funzionale a problemi di un certo rilievo nell'Analisi Matematica;
c) evidenziare l'interazione fra problematiche concrete e teoria astratta con la presentazione parallela di concetti, risultati e applicazioni.

1) norme, spazi normati, spazi di Banach e di Hilbert, dualità;
2) teorema di Hahn-Banach e applicazioni;
3) teorema di Banach-Steinhaus e sue conseguenze; operatori lineari non limitati;
4) topologie deboli, riflessività e separabilità;
5) spazi Lp;
6) spazi di Hilbert;
7) spazi di Sobolev in dimensione 1;

Programma esteso

1. Richiami su norme e prodotti scalari. Spazi vettoriali topologici. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev. Spazio duale. Operatori lineari e continui.

2. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro applicazioni: la mappa di dualità. Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali. Teorema di Fenchel-Moreau.

3. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalità. Operatori chiusi.

4. Riflessività; classi importanti di spazi riflessivi. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Fréchet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*. Spazi separabili.

5. Spazi Lp. Disuguaglianze fondamentali. Teoremi di rappresentazione di Riesz. Riflessività e separabilità di Lp. Convoluzione e regolarizzazione. Teorema di Ascoli. Compattezza forte in Lp.

6. Spazi di Hilbert. Proiezioni su un convesso chiuso. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Somme e basi hilbertiane.

7. Spazi di Sobolev in dimensione 1. Regolarità delle funzioni Sobolev. Riflessività e separabilità. Teoremi di prolungamento. Immersioni di Sobolev. Tracce. Applicazioni allo studio di equazioni alle derivate parziali.

Lezioni frontali ed esercitazioni

- H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore
- G. Gilardi, Analisi Funzionale. Argomenti scelti e applicazioni, McGraw-Hill

Esame scritto e orale

Lo scritto ha carattere facoltativo e si terrà una sola volta durante l'anno, pochi giorni dopo la fine delle lezioni