2023/2024

2023/2024

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Secondo Semestre (29/02/2024 - 07/06/2024)

6

56 ore di attività frontale

Italiano

ORALE

NEGRI MATTEO (titolare) - 6 CFU

In generale i contenuti dei corsi di Analisi a livello della Laurea Triennale e quelli del corso di Analisi Funzionale (spazi di Hilbert e Banach, spazi duali e topologie deboli, spazi L^p). Si richiede inoltre una buona conoscenza della Teoria della Misura. I requisiti di carattere avanzato vengono sempre richiamati prima di essere utilizzati.

L'obiettivo del corso e' di fornire una conoscenza di base dei concetti e dei risultati fondamentali per: Distribuzioni, Spazi di Sobolev e PDE Ellittiche. Viene seguito un approccio che rende il corso utile sia per gli studenti interessati propriamente ad approfondire l'Analisi Matematica sia per gli studenti interessati all'uso dell'Analisi per le applicazioni. Il corso si prefigge inoltre lo scopo di sviluppare la capacita' di inquadrare, formulare rigorosamente e risolvere equazioni alle derivate parziali in forma debole.

SPAZI FUNZIONALI. Spazi duali e teoremi di rappresentazione di Riesz-Markov. Misure di Radon finite e localmente finite. Lo spazio metrico L^1_{loc}. Convergenza e compattezza debole. Immersioni continue e compatte.

DISTRIBUZIONI. Definizione di distribuzione e topologia. Immersioni e convergenza sequenziale. Derivazione. Traslazione e rapporti incrementali. Ordine di una distribuzione. Lo spazio M delle misure di Radon. La distribuzione parte principale. Supporto e distribuzioni a supporto compatto. Lo spazio E'. Convoluzione. Soluzioni fondamentali del Laplaciano in R^n.

SPAZI DI SOBOLEV. Definizione, norme e prodotti scalari, separabilità e riflessività. Teorema di Friedrichs. Chain rule e troncamento. Caratterizzazione per traslazione. Prolungamento per riflessione. Teorema di Meyers-Serrin. Immersioni continue. Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Teorema di Morrey. Funzioni Lipschitziane ed assolutamente continue. Immersioni compatte. Spazi duali ed H^{-1}. Disuguaglianza di Poincaré e Poincaré-Wirtinger. Tracce in L^p. Formule di Green. Cenni sugli spazi frazionari.

EQUAZIONI ELLITTICHE. Teorema di Lax-Milgram. Laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee e non-omogenee per operatori a coefficienti limitati. Lo spazio L^2(div) e i problemi di Neumann. Problemi misti. Regolarità H^2 per il problema di Dirichlet (traslazioni di Niremberg). Principio di massimo (troncature di Stampacchia). Autovalori del laplaciano. Elasticita' linearizzata. Disuguaglianza di Korn.

Il corso e' articolato in lezioni frontali ed esercitazioni, strettamente legate tra loro. Le lezioni hanno lo scopo di fornire i concetti e i risultati fondamentali e sono sempre accompagnate da numerosi esempi di riferimento. Le esercitazioni, hanno lo scopo di sviluppare l'abilita' nello svolgimento dei calcoli e la capacita' di ragionamento nell'affrontare problemi complessi.

H. Brezis: "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations". Springer, New York, 2011.

L.C. Evans: "Partial Differential Equations", Americal Mathematical Society, Providence, 1998.

G. Leoni: "A First Course in Sobolev Spaces". Americal Mathematical Society, Providence, 2009.

F. Treves: "Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels". Academic Press, New York, 1967

L'esame consiste in una prova orale che valuta la conoscenza e la padronanza degli argomenti (definizioni, esempi, enunciati, dimostrazioni) contenuti nel corso: si prevede in genere una domanda teorica per ogni macro-argomento del corso. L'esame prevede inoltre la formulazione debole e la risoluzione di una equazione ellittica alle derivate parziali.

Tutti gli studenti, e in particolare quelli nelle categorie elencate del progetto sulla didattica innovativa, avranno la possibilità di scaricare gli appunti e i podcast delle lezioni e potranno fare ricevimenti anche in modalità telematica.

Istruzione di qualità.
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