ANALISI MATEMATICA 3
Stampa
Anno immatricolazione
2021/2022
Anno offerta
2022/2023
Normativa
DM270
SSD
MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)
Dipartimento
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'
Corso di studio
MATEMATICA
Curriculum
PERCORSO COMUNE
Anno di corso
Periodo didattico
Primo Semestre (29/09/2022 - 13/01/2023)
Crediti
9
Ore
84 ore di attività frontale
Lingua insegnamento
Italiano
Tipo esame
SCRITTO E ORALE CONGIUNTI
Docente
VITALI ENRICO (titolare) - 9 CFU
Prerequisiti
E' richiesta la conoscenza dei principali contenuti dei corsi di Analisi Matematica e di Algebra Lineare del primo anno di corso, in particolare: calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili, forme differenziali, matrici e trasformazioni lineari.
Obiettivi formativi
I risultati di apprendimento attesi sono:
(prima parte)
- conoscenza dei risultati teorici di base relativi ai problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali scalari e vettoriali, con particolare riguardo ai sistemi lineari;
- capacita’ di risolvere esplicitamente alcune tipologie di equazioni differenziali scalari;
- capacita’ di applicare i risultati teorici generali all’analisi di aspetti qualitativi delle soluzioni di equazioni differenziali o, piu’ in generale, all’analisi di problemi che coinvolgono equazioni differenziali;
(seconda parte)
- conoscenza dei risultati teorici di base relativi alle funzioni olomorfe;
- capacita’ di affrontare esercizi e problemi concreti relativi all’applicazione dei suddetti risultati.
Programma e contenuti
Il corso è articolato in due parti: la prima è dedicata alle equazioni differenziali ordinarie, la seconda introduce ai risultati di base dell'Analisi Complessa in una variabile. Più estesamente:

Prima parte. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicità, Teorema di Peano, prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari: struttura delle soluzioni, matrice esponenziale. Comportamento asintotico e stabilità (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Lyapunov).

Seconda parte. Serie di potenze. Differenziabilità complessa e analiticità. Integrazione lungo le curve. Funzioni olomorfe e primitive complesse. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarità. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui; applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprietà di base delle funzioni olomorfe.

NOTA
Il corso "Equazioni differenziali e sistemi dinamici" (Fisica) mutua da 6 CFU del corso di Analisi Matematica 3 del corso di laurea in Matematica. Tenuto conto della differenza di contesto in cui sono collocati i due insegnamenti, per gli studenti di Fisica sara' possibile optare, come modalita' alternativa alla mutuazione standard del contenuto dei 6 CFU della parte di Equazioni Differenziali, per una modalita' "reading course": la prova d'esame sara' solamente orale e lo studente dovra' conoscere i principali risultati della teoria svolta (senza i dettagli delle dimostrazioni) e preparare un approfondimento su un argomento da concordare (verra' fornita un possibile elenco di argomenti). A seconda delle esigenze degli interessati potranno essere organizzati incontri di confronto sui temi scelti, prima della prova orale.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni. Saranno svolte alcune ore di tutorato al di fuori dell'orario ufficiale dell'insegnamento, concordando con gli studenti gli orari più opportuni.
Testi di riferimento
Alcuni testi che possono essere utilmente consultati.

Per la parte di Equazioni Differenziali:
- C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2. Zanichelli.
- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica Vol. 2. Zanichelli.
- M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.

Per la parte di Analisi Complessa:
- E. Stein, S. Shakarchi: Complex Analysis. Princeton University Press, 2003
- R. Narasimhan, Y. Nievergelt: Complex Analysis in One Variable, Birkhauser, 2000
- R. E. Rodríguez, I. Kra, J. P. Gilman: Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers (Graduate Texts in Mathematics, 245), Springer
- G. Gilardi, Analisi Matematica 3. McGraw- Hill Italia.

Saranno inoltre fornite dispense.
Modalità verifica apprendimento
L’esame è formato da una prova scritta e da una prova orale. La prima mira prevalentemente a verificare il livello di acquisizione delle principali tecniche introdotte nel corso per lo studio delle equazioni differenziali o per la risoluzione di alcune tipologie di problemi in Analisi Complessa. Nella prova orale (cui si accede a seconda del voto riportato nella prova scritta) si cerca di approfondire la verifica dell’acquisizione del quadro teorico di riferimento nel quale sono collocati i principali argomenti trattati.

NOTA
Il corso "Equazioni differenziali e sistemi dinamici" (Fisica) mutua da 6 CFU del corso di Analisi Matematica 3 del corso di laurea in Matematica. Tenuto conto della differenza di contesto in cui sono collocati i due insegnamenti, per gli studenti di Fisica sara' possibile optare, come modalita' alternativa alla mutuazione standard del contenuto dei 6 CFU della parte di Equazioni Differenziali, per una modalita' "reading course": la prova d'esame sara' solamente orale e lo studente dovra' conoscere i principali risultati della teoria svolta (senza i dettagli delle dimostrazioni) e preparare un approfondimento su un argomento da concordare (verra' fornita un possibile elenco di argomenti). A seconda delle esigenze degli interessati potranno essere organizzati incontri di confronto sui temi scelti, prima della prova orale.
Altre informazioni
Ulteriori informazioni sul corso e sull'esame saranno fornite sulla pagina Kiro del corso.
Obiettivi Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile