2021/2022

2021/2022

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Primo Semestre (29/09/2021 - 14/01/2022)

9

84 ore di attività frontale

Italiano

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

NEGRI MATTEO (titolare) - 9 CFU

Buona conoscenza della matematica fornita dalla scuola secondaria.

Lo scopo del corso è di fornire i concetti basilari dell'Analisi Matematica e le relative tecniche di calcolo per successioni, serie e funzioni di una variabile reale.

NUMERI REALI. Ordinamento e non-numerabilità. Maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Completezza dei reali. Intervalli.

FUNZIONI. Iniettività, suriettività, limitatezza, monotonia, convessità. Funzioni lipschitziane. Funzione inversa, composizione di funzioni. Simmetrie pari e dispari. Funzioni fondamentali.

SUCCESSIONI. Definizione di limite. Successioni di Cauchy. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Teorema dei due Carabinieri. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Relazione di asintototicità e simbolo di Landau o-piccolo. Limsup e liminf. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Wierstrass.

SERIE. Definizione di serie. Condizione necessaria di convergenza. Serie fondamentali: armonica generalizzata e geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto, radice. Criterio di Leibniz. Convergenza semplice ad assoluta. Criterio di convergenza assoluta.

LIMITI E CONTINUITA'. Definizioni di limite. Teorema di unicità del limite. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Ordini di infinito e di infinitesimo. Definizione di funzione continua. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass (dei massimi e dei minimi). Teorema dei valori intermedi. Continuità uniforme.

DERIVATE. Definizione e notazioni. Derivate di somma, prodotto, quoziente, reciproco, composizione, funzione inversa. Retta tangente. Differenziabilità. Teorema di continuità delle funzioni derivabili. Funzioni derivabili con derivata discontinua. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Massimi e minini assoluti e relativi. Punti critici. Caratterizzazione di monotonia e convessità con derivate prime e seconde. Punti di flesso. Polinomi di Taylor: definizione e proprietà. Resto di Peano. Espansioni di Taylor per le funzioni fondamentali. Funzioni lipschitziane.

INTEGRALI. Definizione di integrale secondo Riemann e Cauchy. Proprietà fondamentali degli integrali. Funzione di Dirichlet. Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti e per sostituzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale per la funzione integrale.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2015.

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1.

Note manoscritte del docente.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale relative all'intero programma del corso. La prova scritta è volta a verificare l'apprendimento delle tecniche di calcolo presentate durante le esercitazioni nonché l'acquisizione delle capacità analitiche e di risoluzione dei problemi e la conoscenza dei principali risultati teorici. La prova orale, cui si accede a seconda del voto riportato nella prova scritta, approfondisce i temi della prova scritta e la comprensione della teoria presentata durante il corso.