2019/2020

2019/2020

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Secondo Semestre (02/03/2020 - 09/06/2020)

3

24 ore di attività frontale

ITALIANO

ORALE

Corsi di base di Analisi ed Analisi Numerica

Per poter risolvere problemi decisionali sempre più complessi posti da esigenze reali sono stati sviluppati modelli matematici, metodi analitici, e algoritmi via via più raffinati, ora studiati in vari settori dell'analisi, della matematica applicata e numerica e della ricerca operativa. Il corso intende offrire agli studenti una panoramica degli aspetti teorici e applicativi più semplici legati all'ottimizzazione, mostrando i principali risultati e offrendo la possibilità di applicare la teoria a problemi concreti.

Dopo aver introdotto ex-novo le principali notazioni e nozioni di
algebra lineare, viene introdotta la decomposizione in valori
singolari, le sue principali proprieta` matematiche ed
interpretazioni. Ci soffermeremo su diverse applicazioni della
decomposizione in valori singolari che sono importanti per l'analisi
dei dati, quali l'analisi delle componenti principali,
l'approssimazione e compressione a basso rango, la classificazione dei
documenti e i problemi di minimi quadrati. Mostreremo come la
randomizzazione giochi un ruolo significativo nel superare la
“maledizione della dimensionalita'” per il calcolo della
decomposizione in valori singolari di grandi matrici. Per raffrontare
in modo piu` formale argomenti probabilistici ed i fenomeni di
concentrazione di misure, ci serviremo di strumenti della teoria della
probabilita`che ci permetteranno di mostrare le fondamentali
disuguaglianze di Hoeffdings e di Bernstein. Come applicazione di
queste disuguaglianze, dimostreremo il famoso lemma di
Johnson-Lindenstrauss sulla trasformazione quasi-conforme randomizzata
di insiemi di dati di grandi dimensioni in insiemi di dimensioni
inferiori.
Pur riconoscendo che l'algebra lineare e la probabilita` sono
strumenti fondamentali per l'analisi dei cosiddetti ``big data'', il
quadro non sarebbe completo senza una introduzione all'analisi
convessa e ai metodi di ottimizzazione convessa, ai quali dedicheremo
considerevole spazio. Come applicazione della sinergia tra algebra
lineare, probabilita` ed ottimizzazione, presenteremo la teoria del
"compressed sensing" e ricostruzione sparsa, cioe` a dire,
l'acquisizione casuale non adattiva di insiemi di alta dimensionalita'
(rappresentabili in modo sparso) ed i medoti ottimali per la loro
ricostruzione.

Lezioni

Appunti forniti dal docente

Esame orale