2018/2019

2018/2019

DM270

MAT/08 (ANALISI NUMERICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Secondo Semestre (04/03/2019 - 14/06/2019)

9

72 ore di attività frontale

Italiano

ORALE

SANGALLI GIANCARLO (titolare) - 6 CFU
BOFFI DANIELE - 3 CFU

I contenuti dei corsi di base di Analisi Matematica e di Analisi Numerica.

Studio teorico e numerico del metodo degli elementi finiti e di alcune sue applicazioni.

Il corso si propone di presentare uno studio teorico del metodo degli elementi finiti, di fornire esempi di sue applicazioni all'approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali legate a problemi di interesse applicativo ed infine di evidenziare i dettagli necessari all'implementazione. Dopo alcuni richiami di analisi funzionale, si introdurra' il metodo degli elementi finiti per un problema di pura diffusione (ellittico), presentandone sia l'analisi teorica di stabilita' e d'errore. Si procedera' quindi con lo studio di approssimazioni mediante elementi finiti di problemi in formulazione variazionale mista. Parallelamente, si approfondiranno gli aspetti implementativi del metodo degli elementi finiti in linguaggio MATLAB.

Programma esteso

Le lezioni teoriche riguarderanno i seguenti argomenti:
- richiami di Analisi Funzionale, con particolare riferimento agli spazi W^{k,p}, e alla formulazione variazionale primale di problemi ellittici
- teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: Lemma di Deny-Lions e Lemma di Bramble-Hilbert.
- interpolazione di Lagrange in n-simplessi ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev
- metodo di Galerkin per problemi ellittici e stima dell'errore: Lemma di Cea e tecniche di dualità
- studio del metodo degli Elementi Finiti per problemi ellittici, con particolare riferimento al caso bidimensionale
- formulazione mista di problemi ellittici e sua discretizzazione di Galerkin: esistenza, unicità , stabilita` della soluzione e stima dell'errore. Alcuni Elementi Finiti per il problema della diffusione del calore in forma mista
- il problema dell'elasticita` e la sua discretizzazione mediante Elementi Finiti: il fenomeno del locking volumetrico e sue possibili cure

Il laboratorio informatico avra` l'obiettivo di implementare il metodo degli elementi finiti in linguaggio MATLAB. In particolare si tratteranno i seguenti aspetti:
- struttura dati ed algoritmi per la triangolazione di una regione piana
- interpolazione e integrazione numerica di funzioni sulla triangolazione
- matrici locali e assemblaggio
- condizioni al bordo di tipo Dirichlet and Neumann
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in forma primale, con elementi P1
- implementazione dell'elemento RT
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in mista (problema di Darcy)

NB: Il programma effettivamente svolto potra` subire variazioni anche significative, anche a seconda degli interessi specifici dimostrati dagli Studenti per gli argomenti proposti.

Lezioni ed esercitazioni, anche in laboratorio.

A. Quarteroni, A. Valli: "Numerical Approximation of Partial Differential Equations", Springer-Verlag, 1994.


Daniele Boffi, Franco Brezzi, and Michel Fortin. Mixed finite element methods and applications. Berlin: Springer, 2013.

Esame orale

Esame orale