2018/2019

2018/2019

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Secondo Semestre (04/03/2019 - 14/06/2019)

6

48 ore di attività frontale

ITALIANO

ORALE

SEGATTI ANTONIO GIOVANNI (titolare) - 3 CFU
SANTAMBROGIO FILIPPO AMBROGIO - 3 CFU

Conoscenze di base di analisi funzionale e di teoria della misura. In ogni caso, le principali definizioni e i
risultati utilizzati saranno comunque richiamati durante il corso.

Il corso intende fornire un'introduzione al Calcolo delle Variazioni

Il corso affronterà i seguenti argomenti:
1) Calcolo delle variazioni in una dimensione:
Geodetiche, brachistocrone, crescita economica, esempi di modelli meccanici. Tecniche per dimostrare
l'esistenza o la non esistenza delle soluzioni. Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni al bordo.
2) Convessità e semicontinuità inferiore:
Convessità e condizioni sufficienti, stretta convessità e unicità. Funzionali semicontinui inferiormente:
convergenze forti e deboli. Funzionali integrali.
3) Dualità convessa e problemi di flusso minimo:
Principali proprietà e tecniche di calcolo delle funzioni convesse, trasformata di Legendre, sottodifferenziale.
Dualità.
4) Regolarità e dualità
Il caso dell'equazione di Laplace, problemi degeneri.
5) Funzioni armoniche, quasi-minimi e tecniche di confronto.
Proprietà delle funzioni armoniche. Caratterizzazione dei quasi-minimi e esempi di funzionali i cui
minimizzanti sono quasi minimi del funzionale di Dirichlet. Spazi di Campanato e regolarità Holderiana.
6) Infinito-Laplaciano
Estensioni Lipschitziane. Estensioni minime e soluzioni di viscosità. Approssimazione mediante p-Laplaciano. Unicità.
7) Il problema isoperimetrico, problemi di ottimizzazione di forma e lo spazio BV
Il problema isoperimetrico e la sua storia. Disuguaglianza isoperimetrica e serie di Fourier. Misure, derivate
distribuzionali e spazio BV. Esistenza di minimi per il funzionale perimetro in un rettangolo. Problemi di
ottimizzazione di forma, quozienti di Rayleigh.
8) Gamma convergenza:
Nozioni generali di Gamma-convergenza; il caso degli spazi metrici e dei funzionali quadratici. Il
comportamento asintotico del problema di ottima allocazione. Gamma-convergenza del funzionale di
Modica-Mortola e l'approssimazione del funzionale perimetro.

Lezioni in aula

G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt: “One-dimensional Variational Problems, an Introduction”.
Oxford University Press, 1998
E. Giusti: “Direct Methods in the Calculus of Variations”. World Scientific 2003.
A. Braides: “Gamma-convergence for beginners”. Oxford University Press, 2002

Esame orale