2018/2019

2018/2019

DM270

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Primo Semestre (01/10/2018 - 18/01/2019)

9

84 ore di attività frontale

Italiano

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

RIGO PIETRO (titolare) - 9 CFU

Conoscenza dell'analisi matematica (elementi di teoria della misura e dell'integrazione, in particolare) svolta nel primo triennio

Viene presentata la teoria kolmogoroviana delle probabilita', in vista del suo impiego nello studio dei processi stocastici.

1.- Spazi di probabilita', indipendenza stocastica.

2.- Valore atteso, integrale, disuguaglianze notevoli, convergenza debole e convergenza forte.

3.- Trasformazioni di una distribuzione di probabilita'.

4.- Leggi dei grandi numeri.

5.- Convergenza debole di misure di probabilità. Teorema centrale del limite.

6.- Speranza e probabilita' condizionale.

7.- Martingale a parametro discreto.

Programma esteso

1.- Spazi di probabilita'.
Viene trattata nel dettaglio la costruzione di spazi di probabilità mediante i classici teoremi di estensione di Kolmogorov e di Ionescu-Tulcea. In questa parte viene fatta un' analisi accurata del concetto di indipendenza stocastica.

2.- Valore atteso, integrale, disuguaglianze Tchebyshov, di Jensen, di Kolmogorov (massimale). Vengono inoltre presentate le definizioni di convergenza in probabilità e di convergenza uniforme in probabilità (equivalente a convergenza quasi certa, nel caso di misure di probabilità), studiandone i significati anche alla luce dei lemmi di Borel-Cantelli. Si esaminano le classiche leggi 0-1 di Kolmogorov e di Hewitt-Savage.

3.- Trasformazioni di una distribuzione di probabilita'. Si studia in particola la funzione caratteristica (trasformata di Fourier-Stieltjes).

4.- Leggi dei grandi numeri:formulazione debole di Khinchin e formulazione forte di Etemadi.

5.- Il teorema centrale del limite del calcolo delle probabilita' viene presentato con riferimento a schiere di numeri aleatori, nella versione di Lindeberg.

6.- Speranza condizionale: definizione in collegamento col teorema di Radon-Nikodym; definizione come proiezione (principio della regressione). Si esaminano le condizioni per l'esistenza di distribuzioni condizionali regolari e/o propie.

7.- Martingale a parametro discreto. Le applicazioni accennate nel programma breve riguardano: la dimostrazione di disuguaglianze massimali (Doob); il problema della rovina dei giocatori; estensioni dei lemmi di Borel-Cantelli; affinamenti di leggi forti dei grandi numeri; la dimostrazione del teorema di Radon-Nikodym e di qualche altro risultato classico dell'analisi reale.

Lezioni di teoria e di avviamento alla risoluzione di problemi, tramite l'assegnazione di esercizi da svolgere a casa.

Oltre agli appunti manoscritti a cura del docente, si consiglia: Erhan Cinlar (2011) Probability and Stochastics. Springer.

Prova orale accompagnata da verifiche sugli esercizi svolti a casa.