2018/2019

2019/2020

DM270

MAT/02 (ALGEBRA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

2°

Primo Semestre (30/09/2019 - 10/01/2020)

9

84 ore di attività frontale

Italiano

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

FREDIANI PAOLA (titolare) - 9 CFU

I contenuti del corso di Algebra Lineare.

Il corso e` una introduzione ad alcune strutture algebriche fondamentali: gruppi, anelli e campi.

I numeri interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore e algoritmo euclideo. Fattorizzazione unica degli interi. Congruenze.
Gruppi: definizione ed esempi; gruppi abeliani. Sottogruppi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi; nucleo di un omomorfismo. Prodotto diretto di gruppi. Gruppi ciclici e generatori di un gruppo. Ordine di un elemento. Indice di un sottogruppo e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali; gruppo quoziente modulo un sottogruppo normale. Gruppi simmetrici e teorema di Cayley. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per gruppi.
Anelli (commutativi e non), domini di integrita`, anelli con divisione e campi. Omomorfismi di anelli. Ideali e operazioni sugli ideali. Anello quoziente modulo un ideale bilatero. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per anelli. Teorema cinese del resto. Ideali primi e massimali. Polinomi a coefficienti in un anello. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. Fattorizzazione di polinomi a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica. Criteri di irriducibilita` per polinomi. Campi algebricamente chiusi; il "teorema fondamentale dell'algebra".

Lezioni ed esercitazioni

Dispense fornite dai docenti.
I.N. Herstein: "Algebra", Editori Riuniti.
M. Artin: "Algebra", Bollati Boringhieri.

L'esame è costituito da una prova scritta, durante la quale lo studente deve risolvere alcuni esercizi, e da una prova orale, durante la quale lo studente deve rispondere ad alcune domande di tipo soprattutto teorico.