2018/2019

2018/2019

DM270

MAT/03 (GEOMETRIA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

1°

Secondo Semestre (04/03/2019 - 14/06/2019)

9

72 ore di attività frontale

Italiano

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

STOPPINO LIDIA (titolare) - 9 CFU

Un corso di Analisi 1 e un corso di Algebra lineare

La parte principale del corso è una introduzione alla topologia generale.
La seconda parte è una introduzione alla geometria proiettiva.

Spazi topologici e funzioni continue. Compattezza, connessione, proprietà di separazione, proprietà di numerabili. Sottospazi, prodotti, quozienti di spazi topologici. Spazi metrici: completezza, compattezza, teorema di Baire, teorema di Ascoli. Omotopia.
Introduzione alla geometria proiettiva. Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale; sottospazi; coordinate omogenee. Immersione del piano euclideo nel piano proiettivo reale. Proiettività. Coniche; classificazioni proiettiva e affine; polarità. Cenni alle quadriche. Cenno al "programma di Erlangen".

Programma esteso

Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Funzioni continue.
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue.
Spazi di Hausdorff; spazi T3 e T4.
Funzioni continue tra spazi di Hausdorff e/o compatti.
Costruzione di spazi topologici: sottospazi, quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza, prodotto di spazi topologici.
Spazi metrici; funzioni continue tra spazi metrici.
Completezza; completamento di uno spazio metrico.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici.
Funzioni uniformemente continue tra spazi metrici.
Teorema di Baire.
Teorema di Ascoli.
Omotopia tra applicazioni continue.
Spazi semplicemente connessi.
Rivestimenti; teorema di sollevamento delle omotopie.
Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
Gruppo fondamentale del cerchio e delle sfere.
Cenni al teorema di Van Kampen.
Richiami sulle isometrie nel piano euclideo.
Introduzione alla geometria proiettiva.
Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); sottospazi proiettivi; coordinate omogenee.
Immersione del piano euclideo nel piano proiettivo reale.
Proiettività; proprietà proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva e affine; polarità.
Cenni alle quadriche.
Cenno al "programma di Erlangen".

Lezioni e esercitazioni

Per la topologia:
E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, 2000
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014.
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988

Per la geometria proiettiva:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000,
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 2011

Esame scritto e orale

Esame scritto e orale