2013/2014

2014/2015

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL'INFORMAZIONE

INGEGNERIA INDUSTRIALE

ENERGIA

2°

Primo Semestre (29/09/2014 - 16/01/2015)

6

68 ore di attività frontale

ITALIANO

SCRITTO E ORALE CONGIUNTI

SAVARE' GIUSEPPE (titolare) - 6 CFU
COLLI FRANZONE PIERO - 2 CFU
SEGATTI ANTONIO GIOVANNI - 1 CFU

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, coordinate polari, calcolo vettoriale e matriciale, principali operatori differenziali e relative proprietà.

Il corso si propone di fornire allo studente i principali strumenti matematici legati al trattamento dei segnali, sia continui che discreti, e ai problemi di ottimizzazione. A tal fine il corso è suddiviso in due moduli.
Dopo aver seguito il modulo di METODI MATEMATICI (6CFU) lo studente deve essere in grado utilizzare con dimestichezza le principali funzioni di variabile complessa e conoscere le nozioni elementari della corrispondente teoria; comprendere il concetto di segnale, a tempo continuo e discreto, le operazioni e trasformazioni elementari, la convergenza di successioni e serie di segnali, la convoluzione; conoscere i risultati fondamentali riguardanti le serie di Fourier e le trasformate di Fourier, di Laplace e Zeta; svolgere calcoli elementari mediante tali trasformate e di applicarli a semplici problemi differenziali.
Il secondo modulo, TRASFORMATE DISCRETE E OTTIMIZZAZIONE (3CFU) fornisce le nozioni e i metodi basilari dell'ottimizzazione, sia libera che vincolata e le tecniche di analisi dei segnali discreti (DFT, FFT, convoluzione) con semplici applicazioni alle equazioni alle differenze e all'approssimazione numerica di filtri continui.

Introduzione all'Analisi Complessa
Richiami sui numeri complessi
Serie di potenze in campo complesso: raggio di convergenza e formule per la sua determinazione
Funzioni esponenziali e trigonometriche, radici e logaritmi
Derivate in senso complesso e funzioni olomorfe, olomorfismo delle serie di potenze
Integrali di linea in campo complesso
Teorema di Cauchy, analiticità delle funzioni olomorfe
Singolarità e sviluppi di Laurent, Teorema dei residui
Applicazioni al calcolo degli integrali, lemma di Jordan.
Il linguaggio dei segnali
Segnali continui e discreti
Operazioni elementari sui segnali: somma e combinazione lineari di segnali, traslazioni e riscalamenti.
Prodotti scalari e norme
Trasformata Z
Definizione e principali proprietà, esempi di calcolo
Applicazioni a problemi alle differenze.
Serie di Fourier
Segnali periodici, polinomi trigonometrici, serie di Fourier, confronto tra forma trigonometrica ed esponenziale
Convergenza puntuale ed uniforme, applicazioni alla somma di serie numeriche, il fenomeno di Gibbs
Il problema della migliore approssimazione e della convergenza in energia
Uguaglianza di Parseval ed applicazione alla somma di serie numeriche
Applicazioni della serie di Fourier a semplici sistemi dinamici.
Trasformata di Fourier di segnali integrabili
Definizione della trasformata di Fourier, proprietà fondamentali, legami con le serie di Fourier
Il lemma di Riemann-Lebesgue, esempi di calcolo
La trasformata dei segnali ad energia finita e l'identità di Plancherel
Il teorema di inversione
Trasformata di Laplace
Definizione, principali proprietà, esempi di calcolo
Legami con la trasformata di Fourier
Inversione della trasformata di Laplace, formula di Heaviside.
Convoluzione
Definizione e principali proprietà, esempi di calcolo
Legami con le trasformate di Fourier e di Laplace
Applicazioni a problemi differenziali ed integrodifferenziali.
Probemi di ottimizzazione
Problemi liberi:
- metodo del gradiente e ricerche lineari
- metodi Newtoniani: trust region,quasi-Newton e Gauss-Newton per problemi ai minimi quadrati
Problemi vincolati:
- Condizioni di ottimalità, metodo di penalizzazione e metodo SQP
Trasformate discrete
Discrete Fourier transform (DFT)
Algoritmi di calcolo rapido (FFT)
Convoluzione discreta
Applicazioni a problemi alle differenze e all'approssimazione, stabilità

Lezioni (ore/anno in aula): 45
Esercitazioni (ore/anno in aula): 49
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

M. Codegone. Metodi Matematici per l'Ingegneria. Zanichelli.
M. Giaquinta, G. Modica. Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica. Pitagora, Bologna.
F. Tomarelli. Esercizi di Metodi Matematici per l'Ingegneria. CLU.
G. Savaré. Dispense del corso. Reperibili on-line sul sito web del corso.
Matlab Optimization and Signal Proccessing Toolbox. User's guide. The MathWorks Inc..
F.J. Bonnan, C.J. Gilbert, C. Lemarechal C, C.A. Sagastizabal. Numerical Optimization. Theoretical and practical aspects. Springer Verlag (Universitext), 2006. Second edition.

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova di laboratorio.

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova di laboratorio.