2013/2014

2014/2015

DM270

MAT/06 (PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA 'FELICE CASORATI'

MATEMATICA

PERCORSO COMUNE

2°

Secondo Semestre (02/03/2015 - 12/06/2015)

6

48 ore di attività frontale

ITALIANO

ORALE

RIGO PIETRO (titolare) - 6 CFU

Il corso di Probabilita' della Laurea Magistrale. Di conseguenza, "Processi Stocastici" e' sconsigliato per gli studenti della Laurea Triennale.

Questo corso e' la naturale prosecuzione del corso di Probabilita' (laurea magistrale). Gli argomenti caratterizzanti sono i processi di Markov (sia a tempo discreto (e stati qualsiasi) che a tempo continuo) e la convergenza debole di misure di probabilita'. Qualche attenzione sara' inoltre dedicata alle martingale a tempo continuo ed alle grandi deviazioni. Il taglio del corso e' essenzialmente di natura teorica. Tuttavia, i risultati presentati costituiscono la base indispensabile per molte applicazioni della probabilita', in particolare alla Finanza Matematica, alla Meccanica Statistica, ed ai Sistemi Dinamici.

1. Generalita' sulla nozione di processo stocastico;

2. Martingale a tempo continuo e moto Browniano;

3. Catene di Markov (a stati qualsiasi);

4. Processi di Markov a tempo continuo;

5. Convergenza debole di misure di probabilita' su spazi metrici;

6. Grandi deviazioni.

Programma esteso

1. Generalita' sulla nozione di processo stocastico: Definizione, traiettorie, uguaglianza tra processi, filtrazioni, tempi d'arresto. Esistenza di processi con assegnate distribuzioni a dimensione finita.

2. Martingale a tempo continuo e moto Browniano: traiettorie, alcune diseguaglianze, teoremi limite, optional sampling theorem, decomposizione di Doob-Meyer. Moto Browniano.

3. Catene di Markov (a stati qualsiasi): Considerazioni generali, esistenza, nuclei, proprieta' di Markov forte, distribuzioni stazionarie, reversibilita', irriducibilita', ricorrenza, ergodicita' e sue caratterizzazioni, passeggiate aleatorie, Gibbs sampling, catene a stati discreti.

4. Processi di Markov a tempo continuo: Considerazioni generali, esistenza, nuclei, proprieta' di Markov forte, generatore infinitesimo, equazioni backward e forward, semigruppi di operatori, alcuni esempi significativi (diffusioni).

5. Convergenza debole di misure di probabilita' su spazi metrici: Considerazioni generali, teorema di portmanteau, alcuni esempi significativi, altri tipi di convergenza, teoremi di Alexandrov, Skorohod e Prohorov, processi empirici, teoremi di Donsker.

6. Grandi deviazioni: Considerazioni generali sul principio delle grandi deviazioni. Teoremi di Cramer, Schilder e Sanov.

Lezioni (durante le quali verranno anche svolti molti esercizi).

1. Kallenberg O.: Foundations of modern probability (Second edition), Springer, 2002.

2. Dudley R.M.: Real analysis and probability, Chapman and Hall, New York, 1993.

3. Meyn S. P. and Tweedie R. L.: Markov Chains and Stochastic Stability, Springer, 1996.

Esame orale. Durante l'esame saranno discusse semplici varianti di esercizi svolti in classe.

Nessuna.