2013/2014

2014/2015

DM270

MAT/05 (ANALISI MATEMATICA)

DIPARTIMENTO DI FISICA

SCIENZE FISICHE

FISICA TEORICA

2°

Primo Semestre (13/10/2014 - 23/01/2015)

6

56 ore di attività frontale

ITALIANO

ORALE

SAVARE' GIUSEPPE (titolare) - 9 CFU

I contenuti di base dei corsi di Analisi matematica e di Algebra lineare del primo anno di corso.

Acquisire i risultati e le tecniche fondamentali per lo studio e il trattamento delle equazioni differenziali, dei sistemi lineari di equazioni differenziali e di semplici sistemi dinamici piani. Apprendere le nozioni di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa, acquisendo familiarità con le operazioni e trasformazioni in campo complesso e le loro applicazioni.

Il corso è articolato in due parti: la prima è dedicata alle equazioni differenziali ordinarie, con una introduzione allo studio dei sistemi dinamici; la seconda parte presenta i primi elementi dell'analisi complessa in una variabile.

Programma esteso

Prima parte. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicita', prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari (risultati generali e calcolo della matrice esponenziale). Il metodo della trasformata di Laplace.
Comportamento asintotico e stabilita' (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Lyapunov).
Seconda parte. Differenziabilita' complessa e analiticita'. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve. Funzioni olomorfe e primitive complesse. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarita'. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprieta' di base delle funzioni olomorfe (principio del prolungamento analitico, principio dell'argomento e teorema di Rouche'; successione di funzioni olomorfe). Proprieta' geometriche: teorema dell'applicazione aperta, trasformazioni conformi.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.

A. Ambrosetti: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie. Springer Verlag, 2011.

H. Amann: Ordinary differential equations. An introduction to nonlinear analysis. de
Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 13. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1990.

V. I. Arnold: Ordinary differential equations. Universitext, Springer-Verlag, 2006. Second printing of the 1992 edition.

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica 2. Masson, 1994.

E. M. Stein - R. Shakarchi: Complex analysis, Princeton Lectures in Analysis II, Princeton University Press (2003)

T. Needham: Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1997.

S.G. Krantz: A guide to complex variables. Mathematical Association of America, 2008

Dispense a cura del prof. Enrico Vitali (disponibili on line)

Prova scritta e prova orale.

Prova scritta e prova orale.